가끔 들어가서 노는 사이트가 있는데 이런 질문이 올라와 있었다.

소수(자기자신과 1만을 약수로 갖는 수)에서 1을 제외시키는 이유가 있어요??

내가 중학교 다니던 시절(즉, 16학번들-나는 재수해서 17학번이다.)에 정수와 유리수에 대해 다루면서 대략적인 수 체계를 배웠다. 당연히 소수와 합성수에 대해서도 배웠다.

 

자연수를 세가지로 나누면 1, 소수, 합성수로 나뉜다.

그 중 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 수라고 알려져 있다.

따라서 이 정의에 따르면 1은 충분히 소수의 자격이 있을 것 같다.

 

하지만, 1은 소수도 합성수도 아니라고 한다.

왜?

 

일단 들어가기에 앞서 한가지 확실하게 해 두자.

나는 수학을 16년 11월 중순 이후로 완전히 놓아버렸다. 쪽팔린 일이지만 미적분도 거의 까먹었다.

그래서 수학에 대한 지식이 짧다 못해 없는 수준이나, 한번 이번 기회에 나름대로 정리해보고 싶었다.

 

1이 소수가 아니라는 주장을 지지하는 사람들은 인수가 두개가 아니기 때문이라고 한다.

1과 자기 자신이 아니라 1만 인수로 존재하니 소수가 아니라는 얘기이다.

하지만 이건 충분하지 못하다.

 

정의

소수의 정의(Definition)를 다시 살펴보자.

An integer greater than one is called a prime number if its only positive divisors (factors) are one and itself. 

1보다 크며, 1과 자기 자신만을 인수로 가지는 정수를 소수라고 한다.

수학에서 정의는 수학을 다루는데 있어 얘는 이거다 라고 박아두고 시작하는 개념이다.

즉, 내가 왜 허강준인지에 대해 의심할 여지 없이 그냥 허강준이라는 얘기이다.

 

따라서 1은 1보다 크지 않으니 소수가 아니다.

 

하지만 저 정의가 어디 하늘에서 뚝 떨어진 것도 아니고, 내가 저거로 납득할 사람도 아니다.

정의를 부정한다는 얘기는 아니다. 정의가 어떤 과정으로 이루어졌는가가 궁금해진 것이다.

소인수분해의 유일성

산술의 기본정리는 소인수분해의 유일성에 대해 설명하고 있다.

Every positive integer greater than one can be written uniquely as a product of primes, 
with the prime factors in the product written in order of nondecreasing size.

1보다 큰 양의 정수는 단 하나의 소수들의 곱으로 표현될 수 있다.

만일 1을 소수라고 인정한다면, 12를 소인수 분해 하였을 때 2 x 2 x 3 은 물론, 1 x 2 x 2 x 3, 그리고 1 x 1x 2 x 2 x 3, 그리고 1...... x 2 x 2 x 3 도 가능할 것이다.

 

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아무튼 이 외에도 1이 단위라서 안된다는 등의 이야기가 있었는데,

이 이상으로 좀 더 명확하게 알고 싶어서 유클리드의 원론이며 여러가지 자료들을 뒤져봤는데 도저히 못 따라가겠다.

공부를 더 한 뒤 나중에 다시 알아봐야겠다.

 

찾아봤던 참고문헌들을 다음 단락에 정리해두었으니

수론(Number Theory)에 관심있는 사람들은 찾아보면 괜찮을 것 같다.

 

Reference

이인석, "Euclidean Domain", 2017, http://www.math.snu.ac.kr/~islee/ED.pdf

 

Euclid, "Elements VII, XI"

 

Chris K. Caldwell, "FAQ: Why is the number one not prime?", https://primes.utm.edu/notes/faq/one.html

 

Chris K. Caldwell, Yang Xiong, "What is the Smallest Prime?", Journal of Integer Sequences, Vol. 15 (2012), Article 12.9.7

 

P. S.

수알못인게 이렇게 서러울 줄은 몰랐다.

궁금한 것도 속 시원하게 해결을 못하네.

 

P.S. 2

http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=ooooooooooo0&logNo=221415896949

 

1은 왜 소수가 아닐까?

의외로, 한국에서는 검색이 안되는 내용이다. 검색이 되더라도 썩 만족스럽지 않다. 이럴때 구글이 필요하...

blog.naver.com

위 Reference를 깔끔하게 번역한 블로그 글을 발견해서 링크해두었다.